L'éclairage parfait pour lire**

Vincent adore lire le soir dans son fauteuil près de la fenêtre. Pour améliorer son confort, il décide d’acheter une lampe réglable dont la hauteur peut varier entre 0,5 m et 2 m. Il a remarqué que, selon la hauteur de la lampe, l’éclairage de son livre change : parfois la lumière est trop faible ou trop forte, ce qui fatigue ses yeux. Il veut donc déterminer la hauteur optimale à laquelle positionner la lampe pour obtenir l’éclairage idéal.

Après quelques tests et à l'aide d’une amie férue de mathématiques, il modélise l’éclairage reçu sur le livre par la fonction simplifiée \(f(x)=x^2−3x+4\) définie sur l'intervalle \([0{,}5;2]\).

La quantité d'éclairage s'exprime en lux et est modélisée par la fonction \(g(x)= 200 \times f(x)\)définie sur l'intervalle \([0{,}5;2]\).

La quantité d'éclairage recommandée pour éviter de fatiguer les yeux se situe entre 300 et 500 lux.

Problématique : à quelle hauteur doit-il régler la lampe pour que l’éclairage soit le plus confortable possible ?

1. À quoi correspond la fonction \(f\) ? À quoi correspond la variable \(x\) ?

2. Calculer \(f(0,5)\).

3. En déduire, avec la fonction \(g\), la quantité de lumière apportée à une hauteur \(x = 0,5\).

4. Calculer la fonction dérivée de \(f\).

5. Résoudre l'équation \(f'(x) = 0\).

6. Étudier le signe de la fonction dérivée \(f'\).

7. Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\).

8. En déduire pour quelle valeur de \(x\) l'éclairage est minimal.

9. Quel est l'éclairage obtenu à cette hauteur et est-il adapté à la lecture ?

10. Répondre à la problématique.